昨晩の結果

JA 0 董젯 49,573

2009-03-22 07:33

今年に入ってから調子が悪いですね。まぁ、仕方ありません。

では例によって今週誕生日の数学者紹介。

Joseph Liouville (1809 3/24 - 1882 9/2)

ちょっと目が怖い…。

さて、私は関数論(Complex analysis)と言う分野が専門でした。

この分野で扱う関数にはとても面白い性質が幾つかあり、そのうちの一つにこのLiouvilleの名前がついています。

Liouvilleの定理

f を複素平面全体で定義された正則関数(holomorphic function)が、有界な関数であるとき、この関数は定数関数である。

皆さんは高校の頃sin xの様な値の範囲が限定された関数を見た事があると思います。

しかし複素平面で定義された正則関数に限るとその様な関数は定数関数しか存在しません。

これを使い、非常に簡単に代数学の基本定理を証明する事ができます。

証明の概略だけ…

多項式P(z)がP(z)=0となるような点を持たないと仮定する。

⇒　1/P(z)はLiouvilleの定理により定数関数。

⇒　するとP(z)も当然定数関数。

⇒　矛盾

Liouvilleさんのおかげで、他の煩雑な証明を覚えなくても自信を持って¥"俺は代数学の基本定理を証明できる¥"と言えます。

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어젯밤의 결과

금년에 들어오고 나서 상태가 나쁘네요.아무튼, 어쩔 수 없습니다.

그럼 예에 의해서 이번 주 생일의 수학자 소개.

Joseph Liouville (1809 3/24 - 1882 9/2)

조금 눈이 무섭다….

그런데, 나는 함수론(Complex analysis)이라고 하는 분야가 전문이었습니다.

이 분야에서 취급하는 함수에는 매우 재미있는 성질이 몇인가 있어, 그 중의 하나에 이 Liouville의 이름이 붙어 있습니다.

Liouville의 정리

f 를 복소헤이면전체로 정의된 정칙 관수(holomorphic function)가, 유계인 함수일 때, 이 함수는 정수 함수이다.

여러분은 고등학교의 무렵 sin x와 같은 값의 범위가 한정된 함수를 본 일이 있다고 생각합니다.

그러나 복소헤이면에서 정의된 정칙 관수에 한정하면 그 같은 함수는 정수 함수 밖에 존재하지 않습니다.

이것을 사용해, 매우 간단하게 대수학의 기본 정리를 증명할 수가 있습니다.

증명의 개략만…

다항식 P(z)가 P(z)=0가 되는 점을 가지지 않으면 가정한다.

⇒　1/P(z)는 Liouville의 정리에 의해 정수 함수.

⇒　그러자(면) P(z)도 당연히 정수 함수.

⇒　모순

Liouville씨 덕분에, 다른 번잡한 증명을 기억하지 않아도 자신을 가져"나는 대수학의 기본 정리를 증명할 수 있는"이라고 말할 수 있습니다.

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