고등학교때 배우는 적분은 Just 1차원의 범위만을 생각한 적분입니다.
그리고 이중 적분은 2차원의 범위, 삼중 적분은 3차원의 범위를 생각한 적분입니다.
선적분과 면적분은 3차원상의 곡선, 그리고 곡면에서 적분을 한 것이므로 삼중적분으로 볼 수 있습니다.
선적분과 면적분은 매우 비슷합니다. 하지만 네이버에 선적분을 치면 무수한 정보가 나오는데 면적분은 아무 정보가 없더라구요(..왜그렇지)
곡선은 매개함수 t로써 벡터함수로 나타낼 수 있다는 것은 아실것입니다.
이런 표현을 이용해서 적분을 하는 건데요. 일반함수를 선적분 할때와 벡터함수를 선적분 할때와 다릅니다. (면적분도 마찬가지)
일반함수라 함은 f(x,y)=sdfa를 말하구요.
벡터함수라함은 F(x,y,z)=(asdf,asdf,fasd)를 말합니다.
선적분
일반함수를 선적분 할때는
이 수식을 이해하실 때
이와 같은 것을 상기하시면 이해하기 쉬우실 것입니다. (곡률에 관련된 내용에서 나옵니다.)
벡터함수를 선적분 할때는
이와 같은 형태로 나타납니다. (방향벡터의 크기를 없애고 내적한 형태로 바뀝니다.)
덧붙여서, 벡터함수를 선적분 할때는 법선벡터 N을 이용할 수도 있습니다.
면적분
면적분을 이해하시려면 곡면의 표현을 우선 이해하셔야합니다.
곡선을 매개변수 t를 이용한 벡터함수로 표현했듯이 곡면도 매개함수 u,v를 이용해서 매개표현을 해줍니다.
예를 들어 반지름이 a인 구의 면을 매개함수표현으로 해보면
이와같이 표현될 수 있는 겁니다. 곡면의 특성에 따라서 u와 v를 자유자재로 사용할 수 있습니다. 말 그대로 매개변수니까요.
이제부터는 (x,y,f(x,y))를 매개변수표현을 한
로 생각해보겠습니다. (x를 u, y를 v로 보시면 됩니다.)
선적분의
이러한 수식을 기억하시는 지요? 이제는 면적분이기 때문에 접선벡터 X"(t) 대신에 접평면의 넓이를 생각해보겠습니다.
매개함수를 u에 대해서 편미분한 것은 u방향의 접선벡터가 되고 v에 대해서 편미분한 것은 v방향의 접선벡터가 됩니다.
u방향의 접선벡터와 v방향을 외적하면 접평면의 넓이가 됩니다.
곡면의 넓이는 이러한 접평면의 작은 조각을 영역에서 전부 합하는 것을 생각하면 됩니다.
이것을 이용해서
(*) 으로 접평면의 넓이를 나타내면
를 생각하시면 z=f(x,y)로 주어진 곡면의 넓이는 이와같이 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있을겁니다.
이제 함수 f가 주어지고, 곡면의 매개표현을 구할 수 있다면
곡면에 대해 적분한 면적분을 구할 수 있을겁니다.
곡선적분에서
로 생각했듯이
로 생각하시면 됩니다.
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일본인은 이것이 이해 되는가?
